La famosa paradoja de Zenón de Elea (ca. 490-430 a. C.) sobre la carrera entre Aquiles y la tortuga es todo un clásico dentro de la problemática filosófico-matemática del infinito. Fue enunciada con la intención de demostrar que la información que recibimos por los sentidos es errónea, ya que si bien creemos que el movimiento es real porque lo vemos, un análisis racional demostraría, mediante reducción al absurdo, que no lo es.
Sean de hecho dos corredores en una pista: Aquiles y una tortuga. Aquiles, el héroe griego, deja una ligera ventaja a la tortuga, y ambos salen hacia la meta al mismo tiempo. Pues bien, nunca alcanzará Aquiles a la tortuga, afirma Zenón, pues aunque vaya acercándose cada vez más a ella, la tortuga nunca deja por su parte de avanzar, y aunque a un paso más lento, siempre mantendrá una cierta distancia con respecto al heroico corredor. Para alcanzarla, Aquiles tendría que llegar antes a un punto intermedio entre él y la tortuga, y antes aún a uno intermedio entre ese punto y el que ocupa, en fin, la sucesión de puntos es infinita, y Aquiles se pierde recorriendo una infinitud de puntos que no le llevan a ningún sitio. Esta paradoja incluye otra conocida como “del estadio”, según la cual no se puede recorrer ningún tramo del estadio, ni el estadio completo, porque para llegar a cualquier sitio partiendo de otro hay que recorrer previamente una infinitud de lugares intermedios. O la paradoja, también de Zenón, de la flecha, que nunca llegará a su objetivo en la diana por el mismo motivo: la imposibilidad lógica de recorrer todos los infinitos puntos intermedios entre el punto de salida y la diana en un tiempo finito.
Sean de hecho dos corredores en una pista: Aquiles y una tortuga. Aquiles, el héroe griego, deja una ligera ventaja a la tortuga, y ambos salen hacia la meta al mismo tiempo. Pues bien, nunca alcanzará Aquiles a la tortuga, afirma Zenón, pues aunque vaya acercándose cada vez más a ella, la tortuga nunca deja por su parte de avanzar, y aunque a un paso más lento, siempre mantendrá una cierta distancia con respecto al heroico corredor. Para alcanzarla, Aquiles tendría que llegar antes a un punto intermedio entre él y la tortuga, y antes aún a uno intermedio entre ese punto y el que ocupa, en fin, la sucesión de puntos es infinita, y Aquiles se pierde recorriendo una infinitud de puntos que no le llevan a ningún sitio. Esta paradoja incluye otra conocida como “del estadio”, según la cual no se puede recorrer ningún tramo del estadio, ni el estadio completo, porque para llegar a cualquier sitio partiendo de otro hay que recorrer previamente una infinitud de lugares intermedios. O la paradoja, también de Zenón, de la flecha, que nunca llegará a su objetivo en la diana por el mismo motivo: la imposibilidad lógica de recorrer todos los infinitos puntos intermedios entre el punto de salida y la diana en un tiempo finito.
Augusto Monterroso en su cuento “Aquiles y la Tortuga” ha dado una graciosa versión de la paradoja:
Por fin, según el cable, la semana pasada la Tortuga llegó a la meta. En rueda de prensa declaró modestamente que siempre temió perder, pues su contrincante le pisó todo el tiempo los talones. En efecto, una diezmiltrillonésima de segundo después, como una flecha y maldiciendo a Zenón de Elea, llegó Aquiles.
Ya más en serio, tenemos aquí implícito el problema de los números irracionales, descubiertos por la escuela de pensadores conocida como “Pitágoras” (a Pitágoras de Samos, que vivió realmente en el siglo VI a. C., se le atribuyen en realidad descubrimientos de todos los “pitagóricos” posteriores), cuando tuvieron que representar la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos catetos que medían 1, ya que la raíz cuadrada de 2 da lugar a un número de infinitos decimales. En el caso de la paradoja de Aquiles y la tortuga, el problema obliga a establecer una relación entre Espacio (E) y Tiempo (T), así como la posibilidad de determinar sus medidas con números, donde caben dos posibilidades: a) si se postula que ambos, T y E, son infinitamente divisibles, Zenón parece que tendría razón al suponer que nos perdemos en un continuo sin salida. b) si se acepta que el T disponible es finito (compuesto de momentos finitos) sería imposible recorrer puntos infinitos en el espacio, porque "no nos daría tiempo", y de nuevo gana Zenón.
Bertrand Russell se enfrenta al problema con las armas de la matemática contemporánea, recoge la aporía y admite el mismo carácter matemático para E y T, defendiendo que el de Elea no lleva razón precisamente porque E y T son infinitos. La explicación ha de remitirse a la matemática y al mismo tiempo al sentido común, pues un número infinito de instantes no supone en la práctica un tiempo infinitamente dilatado y, como sabemos por experiencia, en un tiempo infinitamente divisible se recorren espacios infinitamente divisibles. Reconoce Russell una dificultad, la del infinito, que impide distinguir tamaños entre colecciones infinitas. La unión de los números pares (infinitos) con la de los impares (infinitos) no es mayor que cada colección de ellos por separado. Se trata de una “rareza” (elude Russell llamarla “paradoja”) que arrastra el concepto de infinito, pues en teoría obliga a aceptar que hay un todo con partes que a su vez poseen el mismo número de componentes que el todo del que forman parte. Para ilustrarla, relata la Paradoja de Tristram Shandy, que ya conocemos.
En el caso de la paradoja de Aquiles y la tortuga advirtamos simplemente que si se representan las colecciones infinitas de puntos en el espacio como líneas, tan infinita (en cuanto a sus componentes) es la que va de Aquiles a la Tortuga como la que lo liga imaginariamente al sol. Ahora bien, Aquiles recorrerá antes la primera que la segunda, lo que no impide que en ambos casos haya recorrido un número infinito de puntos que corresponden a segmentos expresables con un número finito que indica su largo en forma de número, y éste sí es mayor o menor. Zenón postula que una totalidad concreta compuesta de un número infinito de partes ha de ser infinita; pero lo cierto es que esas totalidades se expresan en un número que hace referencia a su vez a una medida. La fuente de la confusión viene del intento imaginario por “recorrer” uno a uno los momentos o los puntos de totalidades que no pueden de hecho reducirse a una sucesión concreta de números, si bien se podría suponer y expresar con el número Aleph, el cual indica la cardinalidad del conjunto de números enteros, y no puede modificarse, no crece ni disminuye al sumarle otros números ni al multiplicarlo por otros números; sin embargo, el matemático Cantor supuso y probó que hay números mayores que Aleph, los llamó transfinitos. He aquí de nuevo el supuesto de los grados de magnitud para campos infinitos. Así se explicaría matemáticamente, y en gran parte se “desencanta”, el mito.
